Sistema de ecuaciones lineales. Método de Gauss Jordan

 Idea Central del Método de Gauss-Jordan:

El método de Gauss-Jordan se basa en la aplicación de *operaciones elementales de fila* a la matriz aumentada del sistema ([A | B]) con el objetivo de transformar la matriz de coeficientes (A) en la matriz identidad (I). Al hacerlo, la matriz de términos independientes (B) se transforma en la matriz de soluciones (X).

Pasos del Método de Gauss-Jordan:

1. Construcción de la Matriz Aumentada:
     Se toma la matriz de coeficientes (A) del sistema y se le añade a la derecha la matriz de términos independientes (B), formando una matriz aumentada: [A | B].
     Si el sistema tiene m ecuaciones y n variables, la matriz aumentada tendrá dimensiones m x (n+1).

2. Operaciones Elementales de Fila:

     Las operaciones elementales de fila son las siguientes:

      Intercambio de filas: Intercambiar dos filas entre sí.

       Multiplicación de una fila por un escalar no nulo: Multiplicar todos los elementos de una fila por un número diferente de cero.

       Suma de un múltiplo de una fila a otra fila: Sumar a los elementos de una fila los elementos de otra fila multiplicados por un escalar.

3. Transformación a Forma Escalonada Reducida:

     El objetivo principal es utilizar las operaciones elementales de fila para convertir la matriz A en la matriz identidad (I). Esto se hace de forma sistemática, siguiendo un orden específico para hacer ceros en las posiciones adecuadas.

     El proceso tiene dos partes:

         Eliminación hacia adelante: Se utilizan las operaciones para hacer ceros debajo de los elementos de la diagonal principal (pivotes).

         Eliminación hacia atrás: Se utilizan las operaciones para hacer ceros encima de los elementos de la diagonal principal.

     Cuando la matriz A se convierte en I, la matriz B se transforma en la matriz solución X.

4. Lectura de la Solución:
     Una vez que la matriz A ha sido transformada en la matriz identidad, la matriz resultante en la columna de la derecha corresponderá a las soluciones de cada variable (los valores de x, y, z, etc.).

En el siguiente video , hay un ejercicio explicando este metodo , este video es emitido por el canal de youtube " Profe Alex".

https://youtu.be/dFmGzr1j6eY?si=WEjGcbn2afJQkie0