Teorema de Rouché-Frobenius

 

Teorema de Rouché-Frobenius

Sea el sistema $Ax=b$ con $m$ ecuaciones lineales sobre un cuerpo $K$ y con $n$ incógnitas, siendo $m$ y $n$ naturales mayores que 0. Entonces,

1. El sistema $Ax=b$ es compatible si, y sólo si, rango(A) = rango(A|b)
2. El sistema $Ax=b$ es compatible determinado si, y sólo si, rango(A) = rango(A|b)= n.

 Demostracion

Representamos por $FER\left(A\right)$ a la matriz en forma escalonada reducida de $A$.

Existe una matriz regular $P$ tal que $FER\left(A\right)=PA$. Esta matriz $P$ es la matriz producto de las matrices elementales que nos permiten obtener la forma escalonada reducida de $A$.

Como la matriz $P$ es regular, el sistema $\left(PA\right)x=FER\left(A\right)x=Pb$ es equivalente a $Ax=b$.

Como el sistema $FER\left(A\right)x=Pb$ tiene forma escalonada reducida, se le puede aplicar el método de Gauss-Jordan y se tiene que:

1. $Ax=b$ es compatible si y sólo si $FER\left(A\right)x=Pb$ lo es, y esto es equivalente a que la última columna de la matriz $\left[FER\right(A\left)|Pb\right]$ no sea principal y, por tanto, a que

   $$rango\left(FER\right(A\left)|Pb\right)=rango\left(FER\right(A\left)\right)$$

   Pero de la definición de rango, de que $FER\left(A|b\right)=\left[FER\right(A\left)|Pb\right]$ y de la igualdad anterior, tenemos que

   $$rango\left(A|b\right)=rango\left(FER\right(A\left)\right)=rango\left(A\right)$$

   Así, queda demostrado el primer apartado.

2. Del mismo modo, el sistema $Ax=b$ es determinado si y sólo si $FER\left(A\right)=Pb$ también lo es.

   Esto es lo mismo que decir que en la matriz $FER\left(A|Pb\right)$, todas las columnas son principales excepto la última. Esto equivale a su vez a que

   $$rango\left(FER\right(A\left)|Pb\right)=rango\left(FER\right(A\left)\right)=n$$

   De donde se obtiene 

   $$rango\left(A\right)=n=rango(A|$$

   b

ejemplos

Los ejemplos son sistemas de 3 ecuaciones y 3 incógnitas con coeficientes reales (un sistema de cada tipo). Omitimos algunos pasos para abreviar.

Ejemplo 1

La matriz ampliada del sistema es:

El rango de la matriz anterior es 3 puesto que el determinante de $A$ es no nulo:

Por tanto, tenemos que los rangos de las dos matrices, $A$ y $\left(A|b\right)$, coinciden:

Por el teorema de Rouché-Frobenius, como los rangos son iguales y coinciden con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado.

En efecto, la única solución del sistema es, en forma matricial,

Es decir,

Ejemplo 2

La matriz ampliada del sistema es

Mediante operaciones elementales fila, obtenemos que la matriz forma escalonada reducida (FER) equivalente a la matriz anterior es

De la forma de la matriz deducimos que los rangos de las matrices ampliada y coeficientes coinciden y es 2, aunque es menor que el número de incógnitas:

Por el teorema de Rouché-Frobenius, como los rangos coinciden pero son menores que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

De la propia $FER\left(A|b\right)$ obtenemos el conjunto de soluciones del sistema:

Es decir,