Sistema de ecuaciones lineales. Forma matricial

 La Forma Matricial: Una Representación Concisa

Como mencionamos antes, un sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma compacta utilizando matrices. La forma general es:

AX = B

Donde:

• A es la matriz de coeficientes. Contiene los coeficientes de las variables en cada ecuación.
• X es la matriz (o vector) de variables. Contiene las variables (incógnitas) del sistema.
• B es la matriz (o vector) de términos independientes. Contiene los valores constantes del lado derecho de cada ecuación.

Construcción de las Matrices A, X y B:

1. Matriz de Coeficientes (A):
  • Las filas de la matriz A corresponden a las ecuaciones del sistema.
  • Las columnas de la matriz A corresponden a las variables.
  • El elemento aᵢⱼ es el coeficiente de la j-ésima variable en la i-ésima ecuación.
  • Si una variable no aparece en una ecuación, su coeficiente se considera 0.
  • La matriz A tiene dimensiones m x n, donde m es el número de ecuaciones y n es el número de variables.

2. Matriz de Variables (X):
  • X es una matriz columna (un vector columna).
  • Cada fila de X corresponde a una variable.
  • La matriz X tiene dimensiones n x 1, donde n es el número de variables.

3. Matriz de Términos Independientes (B):
  • B es una matriz columna (un vector columna).
  • Cada fila de B corresponde al término independiente de la ecuación correspondiente.
  • La matriz B tiene dimensiones m x 1, donde m es el número de ecuaciones.

Ejemplo Detallado:

Consideremos el sistema de ecuaciones:


2x + y - z = 1
x - y + 2z = 4
-x + 2y + 3z = -2


1. Matriz de Coeficientes (A):
  
  A = [[ 2, 1, -1],
     [ 1, -1, 2],
     [-1, 2, 3]]
  
  • Fila 1: Coeficientes de la 1ª ecuación (2, 1, -1)
  • Fila 2: Coeficientes de la 2ª ecuación (1, -1, 2)
  • Fila 3: Coeficientes de la 3ª ecuación (-1, 2, 3)

2. Matriz de Variables (X):
  
  X = [[x],
     [y],
     [z]]
  
  • Variable x en la fila 1
  • Variable y en la fila 2
  • Variable z en la fila 3

3. Matriz de Términos Independientes (B):
  
  B = [[ 1],
     [ 4],
     [-2]]
  
  • Término independiente de la 1ª ecuación (1)
  • Término independiente de la 2ª ecuación (4)
  • Término independiente de la 3ª ecuación (-2)

Forma Matricial Completa:

La ecuación matricial del sistema es:


[[ 2, 1, -1], [[x], = [[ 1],
 [ 1, -1, 2], × [y], = [ 4],
 [-1, 2, 3]] [z]] [-2]]


Que se resume como: AX = B



La Forma Matricial: Una Representación Concisa

Como mencionamos antes, un sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma compacta utilizando matrices. La forma general es:

AX = B

Donde:

• A es la matriz de coeficientes. Contiene los coeficientes de las variables en cada ecuación.
• X es la matriz (o vector) de variables. Contiene las variables (incógnitas) del sistema.
• B es la matriz (o vector) de términos independientes. Contiene los valores constantes del lado derecho de cada ecuación.

Construcción de las Matrices A, X y B:

1. Matriz de Coeficientes (A):
• Las filas de la matriz A corresponden a las ecuaciones del sistema.
• Las columnas de la matriz A corresponden a las variables.
• El elemento aᵢⱼ es el coeficiente de la j-ésima variable en la i-ésima ecuación.
• Si una variable no aparece en una ecuación, su coeficiente se considera 0.
• La matriz A tiene dimensiones m x n, donde m es el número de ecuaciones y n es el número de variables.

2. Matriz de Variables (X):
• X es una matriz columna (un vector columna).
• Cada fila de X corresponde a una variable.
• La matriz X tiene dimensiones n x 1, donde n es el número de variables.

3. Matriz de Términos Independientes (B):
• B es una matriz columna (un vector columna).
• Cada fila de B corresponde al término independiente de la ecuación correspondiente.
• La matriz B tiene dimensiones m x 1, donde m es el número de ecuaciones.

Ejemplo Detallado:

Consideremos el sistema de ecuaciones:


2x + y - z = 1
x - y + 2z = 4
-x + 2y + 3z = -2

1. Matriz de Coeficientes (A):

A = [[ 2, 1, -1],
[ 1, -1, 2],
[-1, 2, 3]]

• Fila 1: Coeficientes de la 1ª ecuación (2, 1, -1)
• Fila 2: Coeficientes de la 2ª ecuación (1, -1, 2)
• Fila 3: Coeficientes de la 3ª ecuación (-1, 2, 3)

2. Matriz de Variables (X):

X = [[x],
[y],
[z]]

• Variable x en la fila 1
• Variable y en la fila 2
• Variable z en la fila 3

3. Matriz de Términos Independientes (B):

B = [[ 1],
[ 4],
[-2]]

• Término independiente de la 1ª ecuación (1)
• Término independiente de la 2ª ecuación (4)
• Término independiente de la 3ª ecuación (-2)

Forma Matricial Completa:

La ecuación matricial del sistema es:


[[ 2, 1, -1], [[x], = [[ 1],
[ 1, -1, 2], × [y], = [ 4],
[-1, 2, 3]] [z]] [-2]]


Que se resume como: AX = B

Ventajas de la Forma Matricial:

1. Concisión: La notación matricial permite expresar sistemas complejos de manera más compacta y clara.
2. Claridad: Facilita la identificación de los coeficientes, las variables y los términos independientes.
3. Manipulación: Permite aplicar operaciones matriciales para resolver el sistema (por ejemplo, el método de la matriz inversa o la eliminación Gaussiana).
4. Implementación Computacional: Es la base para la resolución de sistemas lineales en software y lenguajes de programación, ya que las matrices son estructuras de datos fundamentales en el cálculo numérico.
5. Generalización: La forma matricial es válida para sistemas con cualquier número de ecuaciones y variables (siempre que sean lineales).

Ejemplos Adicionales:

• Sistema 2x2:


x + y = 5
x - y = 1

A = [[1, 1], [1, -1]]
X = [[x], [y]]
B = [[5], [1]]

• Sistema con Términos Faltantes:


2x + z = 8
y - z = 2

A = [[2, 0, 1], [0, 1, -1]]
X = [[x], [y], [z]]
B = [[8], [2]]

Para concluir:

• La forma matricial AX = B es una manera concisa y elegante de representar un sistema de ecuaciones lineales.
• La matriz A contiene los coeficientes, X las variables y B los términos independientes.
• Esta forma es esencial para aplicar métodos de resolución de sistemas lineales con álgebra lineal y para la implementación computacional.
• Entender la construcción de estas matrices es clave para trabajar con sistemas lineales de manera efectiva.




A continuación tenemos un video en el cuál se resuelve un ejercicio, el vídeo es un aporte del canal de Youtube "Mates con Andrés"

https://youtu.be/H54dDISQYr8?si=47kOwEPhiH5Fl4px