Sistema de ecuaciones lineales. Método de Gauss Jordan

 Idea Central del Método de Gauss-Jordan:

El método de Gauss-Jordan se basa en la aplicación de *operaciones elementales de fila* a la matriz aumentada del sistema ([A | B]) con el objetivo de transformar la matriz de coeficientes (A) en la matriz identidad (I). Al hacerlo, la matriz de términos independientes (B) se transforma en la matriz de soluciones (X).

Pasos del Método de Gauss-Jordan:

1. Construcción de la Matriz Aumentada:
     Se toma la matriz de coeficientes (A) del sistema y se le añade a la derecha la matriz de términos independientes (B), formando una matriz aumentada: [A | B].
     Si el sistema tiene m ecuaciones y n variables, la matriz aumentada tendrá dimensiones m x (n+1).

2. Operaciones Elementales de Fila:

     Las operaciones elementales de fila son las siguientes:

      Intercambio de filas: Intercambiar dos filas entre sí.

       Multiplicación de una fila por un escalar no nulo: Multiplicar todos los elementos de una fila por un número diferente de cero.

       Suma de un múltiplo de una fila a otra fila: Sumar a los elementos de una fila los elementos de otra fila multiplicados por un escalar.

3. Transformación a Forma Escalonada Reducida:

     El objetivo principal es utilizar las operaciones elementales de fila para convertir la matriz A en la matriz identidad (I). Esto se hace de forma sistemática, siguiendo un orden específico para hacer ceros en las posiciones adecuadas.

     El proceso tiene dos partes:

         Eliminación hacia adelante: Se utilizan las operaciones para hacer ceros debajo de los elementos de la diagonal principal (pivotes).

         Eliminación hacia atrás: Se utilizan las operaciones para hacer ceros encima de los elementos de la diagonal principal.

     Cuando la matriz A se convierte en I, la matriz B se transforma en la matriz solución X.

4. Lectura de la Solución:
     Una vez que la matriz A ha sido transformada en la matriz identidad, la matriz resultante en la columna de la derecha corresponderá a las soluciones de cada variable (los valores de x, y, z, etc.).

En el siguiente video , hay un ejercicio explicando este metodo , este video es emitido por el canal de youtube " Profe Alex".

https://youtu.be/dFmGzr1j6eY?si=WEjGcbn2afJQkie0

Sistema de ecuaciones lineales. Forma matricial

 La Forma Matricial: Una Representación Concisa

Como mencionamos antes, un sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma compacta utilizando matrices. La forma general es:

AX = B

Donde:

• A es la matriz de coeficientes. Contiene los coeficientes de las variables en cada ecuación.
• X es la matriz (o vector) de variables. Contiene las variables (incógnitas) del sistema.
• B es la matriz (o vector) de términos independientes. Contiene los valores constantes del lado derecho de cada ecuación.

Construcción de las Matrices A, X y B:

1. Matriz de Coeficientes (A):
  • Las filas de la matriz A corresponden a las ecuaciones del sistema.
  • Las columnas de la matriz A corresponden a las variables.
  • El elemento aᵢⱼ es el coeficiente de la j-ésima variable en la i-ésima ecuación.
  • Si una variable no aparece en una ecuación, su coeficiente se considera 0.
  • La matriz A tiene dimensiones m x n, donde m es el número de ecuaciones y n es el número de variables.

2. Matriz de Variables (X):
  • X es una matriz columna (un vector columna).
  • Cada fila de X corresponde a una variable.
  • La matriz X tiene dimensiones n x 1, donde n es el número de variables.

3. Matriz de Términos Independientes (B):
  • B es una matriz columna (un vector columna).
  • Cada fila de B corresponde al término independiente de la ecuación correspondiente.
  • La matriz B tiene dimensiones m x 1, donde m es el número de ecuaciones.

Ejemplo Detallado:

Consideremos el sistema de ecuaciones:


2x + y - z = 1
x - y + 2z = 4
-x + 2y + 3z = -2


1. Matriz de Coeficientes (A):
  
  A = [[ 2, 1, -1],
     [ 1, -1, 2],
     [-1, 2, 3]]
  
  • Fila 1: Coeficientes de la 1ª ecuación (2, 1, -1)
  • Fila 2: Coeficientes de la 2ª ecuación (1, -1, 2)
  • Fila 3: Coeficientes de la 3ª ecuación (-1, 2, 3)

2. Matriz de Variables (X):
  
  X = [[x],
     [y],
     [z]]
  
  • Variable x en la fila 1
  • Variable y en la fila 2
  • Variable z en la fila 3

3. Matriz de Términos Independientes (B):
  
  B = [[ 1],
     [ 4],
     [-2]]
  
  • Término independiente de la 1ª ecuación (1)
  • Término independiente de la 2ª ecuación (4)
  • Término independiente de la 3ª ecuación (-2)

Forma Matricial Completa:

La ecuación matricial del sistema es:


[[ 2, 1, -1], [[x], = [[ 1],
 [ 1, -1, 2], × [y], = [ 4],
 [-1, 2, 3]] [z]] [-2]]


Que se resume como: AX = B



La Forma Matricial: Una Representación Concisa

Como mencionamos antes, un sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de forma compacta utilizando matrices. La forma general es:

AX = B

Donde:

• A es la matriz de coeficientes. Contiene los coeficientes de las variables en cada ecuación.
• X es la matriz (o vector) de variables. Contiene las variables (incógnitas) del sistema.
• B es la matriz (o vector) de términos independientes. Contiene los valores constantes del lado derecho de cada ecuación.

Construcción de las Matrices A, X y B:

1. Matriz de Coeficientes (A):
• Las filas de la matriz A corresponden a las ecuaciones del sistema.
• Las columnas de la matriz A corresponden a las variables.
• El elemento aᵢⱼ es el coeficiente de la j-ésima variable en la i-ésima ecuación.
• Si una variable no aparece en una ecuación, su coeficiente se considera 0.
• La matriz A tiene dimensiones m x n, donde m es el número de ecuaciones y n es el número de variables.

2. Matriz de Variables (X):
• X es una matriz columna (un vector columna).
• Cada fila de X corresponde a una variable.
• La matriz X tiene dimensiones n x 1, donde n es el número de variables.

3. Matriz de Términos Independientes (B):
• B es una matriz columna (un vector columna).
• Cada fila de B corresponde al término independiente de la ecuación correspondiente.
• La matriz B tiene dimensiones m x 1, donde m es el número de ecuaciones.

Ejemplo Detallado:

Consideremos el sistema de ecuaciones:


2x + y - z = 1
x - y + 2z = 4
-x + 2y + 3z = -2

1. Matriz de Coeficientes (A):

A = [[ 2, 1, -1],
[ 1, -1, 2],
[-1, 2, 3]]

• Fila 1: Coeficientes de la 1ª ecuación (2, 1, -1)
• Fila 2: Coeficientes de la 2ª ecuación (1, -1, 2)
• Fila 3: Coeficientes de la 3ª ecuación (-1, 2, 3)

2. Matriz de Variables (X):

X = [[x],
[y],
[z]]

• Variable x en la fila 1
• Variable y en la fila 2
• Variable z en la fila 3

3. Matriz de Términos Independientes (B):

B = [[ 1],
[ 4],
[-2]]

• Término independiente de la 1ª ecuación (1)
• Término independiente de la 2ª ecuación (4)
• Término independiente de la 3ª ecuación (-2)

Forma Matricial Completa:

La ecuación matricial del sistema es:


[[ 2, 1, -1], [[x], = [[ 1],
[ 1, -1, 2], × [y], = [ 4],
[-1, 2, 3]] [z]] [-2]]


Que se resume como: AX = B

Ventajas de la Forma Matricial:

1. Concisión: La notación matricial permite expresar sistemas complejos de manera más compacta y clara.
2. Claridad: Facilita la identificación de los coeficientes, las variables y los términos independientes.
3. Manipulación: Permite aplicar operaciones matriciales para resolver el sistema (por ejemplo, el método de la matriz inversa o la eliminación Gaussiana).
4. Implementación Computacional: Es la base para la resolución de sistemas lineales en software y lenguajes de programación, ya que las matrices son estructuras de datos fundamentales en el cálculo numérico.
5. Generalización: La forma matricial es válida para sistemas con cualquier número de ecuaciones y variables (siempre que sean lineales).

Ejemplos Adicionales:

• Sistema 2x2:


x + y = 5
x - y = 1

A = [[1, 1], [1, -1]]
X = [[x], [y]]
B = [[5], [1]]

• Sistema con Términos Faltantes:


2x + z = 8
y - z = 2

A = [[2, 0, 1], [0, 1, -1]]
X = [[x], [y], [z]]
B = [[8], [2]]

Para concluir:

• La forma matricial AX = B es una manera concisa y elegante de representar un sistema de ecuaciones lineales.
• La matriz A contiene los coeficientes, X las variables y B los términos independientes.
• Esta forma es esencial para aplicar métodos de resolución de sistemas lineales con álgebra lineal y para la implementación computacional.
• Entender la construcción de estas matrices es clave para trabajar con sistemas lineales de manera efectiva.




A continuación tenemos un video en el cuál se resuelve un ejercicio, el vídeo es un aporte del canal de Youtube "Mates con Andrés"

https://youtu.be/H54dDISQYr8?si=47kOwEPhiH5Fl4px





Sistema de ecuaciones lineales

¿Qué es un Sistema de Ecuaciones Lineales?

 Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales que involucran las mismas variables. Una ecuación lineal es una ecuación donde todas las variables están elevadas a la primera potencia (es decir, no hay exponentes como x², √x, etc.) y no están multiplicadas entre sí.

Un sistema de ecuaciones tiene que cumplir con las siguientes condiciones:

Linealidad: Cada ecuación individual en el sistema debe ser una ecuación lineal. Esto significa que:
   Las variables tienen exponente 1: No hay términos con variables elevadas a potencias diferentes de 1 (como x², √y, z³, etc.).
   No hay productos de variables: No hay términos donde se multipliquen dos o más variables entre sí (como xy, xz, y²z, etc.).
   Las variables aparecen sólo como términos lineales: No hay funciones de las variables (como sen(x), log(y), e^z, etc.).

2. Múltiples Ecuaciones: El sistema debe contener al menos dos ecuaciones diferentes. Si sólo hay una ecuación, no se considera un sistema.

3. Mismas Variables: Todas las ecuaciones en el sistema deben compartir las mismas variables. No es un sistema lineal si cada ecuación tiene variables diferentes.

Para entender mejor qué es un sistema lineal, es crucial comprender qué es una ecuación lineal:

• Ecuación Lineal General: Una ecuación lineal general en n variables (x₁, x₂, ..., xₙ) puede expresarse como:
  a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b
  Donde:
  • x₁, x₂, ..., xₙ son las variables.
  • a₁, a₂, ..., aₙ son los coeficientes (números constantes).
  • b es el término independiente (un número constante).

• Ejemplos de Ecuaciones Lineales (válidas para un sistema lineal):
  • 2x + 3y = 7 (2 variables)
  • -x + 5y - z = 0 (3 variables)
  • 4x = 12 (1 variable, caso especial)
  • y = -2x + 5 (2 variables, reordenada)

• Ejemplos de Ecuaciones NO Lineales (no válidas para un sistema lineal):
  • x² + y = 4 (variable al cuadrado)
  • xy + z = 10 (producto de variables)
  • sen(x) + y = 2 (función trigonométrica)
  • √x + y = 3 (raíz cuadrada de variable)
  • e^x + y = 5 (exponencial de variable)

Este es un enlace a un video del reconocido canal de youtube "Profe Alex" ,con el cual podemos enter de manera rapida y sencilla este tema, sumado a esto al final del video hay un ejercico para desarrollar la parte practico-teorica.

https://youtu.be/oQQfG1zIPMc?si=Ot_GBB0hoBrTvr5Z